Abstract:

¿Quién no se ha sentido fascinado al observar el discurrir del agua o la evolución de las nubes? 
Todas las teorías que explican la evolución temporal del movimiento de un fluido, poseen gran complejidad desde todos los puntos de vista, sean cuales sean éstos; ello, no significa que realmente sea tan complejo en sí mismo. Aquello que no sabemos explicar, le atribuimos causas “divinas” o “aleatorias”; aquello que es “aparentemente” desordenado y enmarañado, lo llamamos “caos”; aquel suceso infrecuente, lo atribuimos a la “casualidad”; no son más que excusas; todo tiene un porqué y una causa, y las causas o razones primarias de cualquier movimiento, responden a leyes extremadamente simples y sencillas.

Palabras como “suerte”, son palabras muy usadas y frecuentes y que tan sólo reflejan nuestra más absoluta ignorancia....

Cualquiera que sea la teoría o modelo que escojamos para modelizar el comportamiento de la mecánica de un fluido, obtendremos unas ecuaciones diferenciales, las cuales tendremos que resolver; para ello, es necesario discretizar el espacio y discretizar dichas ecuaciones, con lo que dependiendo del modelo elegido, tendremos un sistema lineal o no lineal de ecuaciones. Sea cual sea el tipo de sistema obtenido, disponemos al fin y al cabo, de relaciones entre propiedades de puntos, que en la mayoría de casos son tanto más complejas, cuanto más fielmente reflejan la realidad.
Alrededor de las décadas de los años 80 y 90, investigadores como Dirk Helbing, Peter Molnár, Tamás Bishkek, Illés Farkas, Craig Reynolds, Tamas Vicsek o Andras Czirók, intentaron modelizar el comportamiento dinámico de grupos de personas y animales, a partir de las relaciones primarias existentes entre ellas; pero ninguno de ellos ha relacionado sus investigaciones y resultados, con la mecánica de un fluido; esto hace que se ofrezca una visión diferente y novedosa, acerca la mecánica de fluidos computacional (ver www.turbulencia.com el apartado de “Equilibrio Dinámico”).

Introducción:

Si queremos conocer y visualizar un fluido en movimiento alrededor de un cuerpo, podemos hacerlo de varias formas: resolviendo las ecuaciones que rigen el movimiento en régimen laminar (las ecuaciones de Euler o la teoría de los potenciales o paneles, por ejemplo), o resolviendo las ecuaciones que rigen el movimiento en régimen turbulento y laminar a la vez (ecuaciones de Navier-Stokes ).

Las primeras, cuya hipótesis son fluido incompresible o densidad constante y rotacional del campo de velocidades V nulo, tienen el inconveniente inherentemente a ellas mismas: no describen la realidad en su conjunto y no son más que aproximaciones bajo hipótesis restrictivas, las cuales, no sólo limitan su uso, sino que las hacen inexactas. Se caracteriza por mantener la densidad del fluido constante; por esta razón, la divergencia de la velocidad es nula; también se llama condición de continuidad:

Una de las ventajas de este método, radica en la linealidad del sistema de ecuaciones resultante; si el fluido no es viscoso, las únicas fuerzas que actúan sobre una partícula del mismo, son la normal y la gravedad, y ninguna de ellas provoca un par torsión sobre dicha partícula. Por esta razón, un fluido irrotacional, es aquel flujo de fluido no viscoso, cuyo promedio de velocidades angulares de todas sus partículas, es nulo.

Si el flujo es tridimensional e irrotacional, la vorticidad es doble que la velocidad angular; y se expresa del siguiente modo: V=(u, v, w) son las velocidades en los 3 ejes, 

Necesitamos conocer el vector velocidad V; supongamos que existe f / V = Ñf.
Por tanto, esta función existe, si el flujo es irrotacional, sustituyendo la expresión de V en las componentes de la vorticidad.

A esta función, se le llama potencial de velocidades. Además, sustituyendo V = vF en div(v) = 0, obtenemos que V² F = 0

En un espacio bidimansionall, es frecuente usar coordenadas polares, en lugar de cartesianas; así:

Y las componentes de la velocidad son:

Supongamos ahora, que existe una función y en el espacio bidimensional, tal que:

Para que esta función exista, es necesario que se cumpla:

Si sustituimos las expresiones de u y v en la ecuación de continuidad, obtenemos la condición necesaria para la existencia de y.

Podemos obtener, por tanto, que V²y = 0, pues la vorticidad en el eje z, es nula.

En coordenadas polares:

Las líneas de F = constante, son perpendiculares a las líneas de y = constante o líneas de corriente.

Las segundas, tienen la ventaja de representar “fielmente” la realidad, pero su resolución numérica, es complicada, larga y llena de dificultades: es necesario discretizar el espacio, con los problemas que esto supone, hay que tener en cuenta la convergencia de las iteraciones, puesto que si diverge, no obtendremos solución alguna, la propia discretización acarrea problemas, condiciones iniciales y de contorno, etc. Más tarde veremos esto.

f, expresa la densidad de fuerzas externas; g es el coeficiente de viscosidad; t es el tiempo. 

Existen aproximaciones, tales como las ecuaciones de Stokes; su principal característica y ventaja, es que su expresión en diferencias finitas, origina un sistema lineal.

Re, es el número de Reynolds.

Las condiciones iniciales, son las siguientes:

u = 0
v = 0 en la pared del obstáculo, sobre el que queremos analizar el movimiento de un fluido.

u = Re
v = 0 en la pared del recinto o espacio.

( u , v )® ( Re , 0 )  si ½x½ ® ¥.

Si desarrollamos las ecuaciones de Stokes, nos resulta un sistema de 3 ecuaciones:

P es la presión; los subíndices indican con respecto a qué variable se derivan.
Esta aproximación de Stokes, ofrece buenos resultados para números de Reynolds no muy altos.


Las ecuaciones que se obtienen al intentar resolver cualquier problema referente a la dinámica de un fluido, son de una gran complejidad analítica; por ello, se utilizan métodos de discretización espaciales y temporales, que consiguen disminuir el número de puntos sobre los que se aplican las ecuaciones, pudiéndose resolver en ocasiones, a partir de sistemas de ecuaciones lineales.

Otro de los métodos que se utilizan para resolver ciertas ecuaciones diferenciales, es realizar un cambio de variable, de forma y manera que el espacio se transforme de una forma especial, obteniéndose unas ecuaciones más fácilmente tratables numéricamente; veamos un ejemplo, en 2 dimensiones:

Supongo que quiero estudiar el movimiento de un fluido alrededor de un círculo, por ejemplo; si discretizamos el espacio con una malla relativamente grande (nodos fuertemente espaciados), puede ocurrir que algunos puntos de dicho círculo, no sean nodos de la malla ; (así, es algo análogo estudiar este círculo como un cuadrado) ; una de las posibilidades para solucionar este inconveniente, es hacer la malla más fina, para que existan mucha más cantidad de nodos que pertenezcan a la frontera de la figura que pretendo analizar.

Por esta razón, es mejor utilizar otro método : el método consiste en transformar la figura, en este caso el círculo, en una línea recta ; de esta forma, puedo crear y aplicar un mallado rectangular.

Una vez, se apliquen las nuevas ecuaciones en diferencias finitas a este espacio, se aplican las ecuaciones inversas de la transformación.

Supongo que las coordenadas cartesianas sin transformar son x, y, y las coordenadas cartesianas resultantes de la transformación son x, h.

De esta forma, obtengo las siguientes relaciones:

También puedo desarrollar las derivadas de segundo orden:

Igualmente, calculo la derivada segunda.

Si despejo de estas 2 últimas ecuaciones, las incógnitas que necesito, obtendré las siguientes expresiones:

Igualmente, puedo hallar las restantes derivadas parciales, usando el jacobiano J.

Por ejemplo, supongo que sobre cierta figura quiero obtener mayor exactitud cerca de la superficie; en estas condiciones, es lógico querer mallar el espacio, de forma que tengamos más nodos cerca de ella ; para ello, colocaré las líneas de mallado, menos separadas, cuanto más cerca se encuentren, de la superficie.

Así, la transformación requerida, es:

Si aplico esta transformación, el mallado se convertirá en otro, cuyas líneas horizontales estén igualmente espaciadas.
A este nuevo mallado, aplicaría las ecuaciones en diferencias finitas “modificadas“, para luego deshacer la transformación, aplicando las inversas:

Uno de los problemas con los que me puedo encontrar a la hora de aplicar este método, es cómo averiguar la transformación matemática que convierte una figura en una línea recta (lo más parecido a una línea recta).

Para ello, puedo aplicar teoría de variable compleja, pues estoy en un espacio de 2 dimensiones. Voy a ver algunos ejemplos de transformaciones:

Sea z, un número complejo, que para mí será un punto, pues sustituiremos la parte real e imaginaria, por las coordenadas espaciales del punto. Sea w, el punto z transformado.

w = sqr(z) interior de una parábola, en un rectángulo.

w = log(z) interior de una semicorona circular, en un rectángulo.

w = arcsin(z) interior de una elipse, en un rectángulo.

w = log((z+1)/(z-1)) interior de una corona no concéntrica, en un rectángulo.

Mi problema, el hecho de transformar la superficie del objeto a estudiar, no simplifica el cálculo del sistema de ecuaciones; en algunos casos, hasta es posible que complique la creación de este sistema, y no digamos nada acerca su resolución.

Por tanto, vemos que hasta el momento, sólo existen 2 métodos de resolución de nuestro problema: el método gráfico y una aproximación. Ambas, son insuficientes e imprecisas para nuestro objetivo.
Es necesario resolver las ecuaciones de Navier-Stokes:

En definitiva se resumen diciendo que la energía, el momento y la masa, se conservan; esto, es consecuencia directa de un principio de la termodinámica, que todos habremos oído alguna vez, que dice que “la energía ni se crea ni se destruye, sólo se transforma”. Es justo esto.
Para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes, es necesario discretizar el espacio (coger un número finito de puntos de nuestro contexto de estudio) y discretizar también las ecuaciones de Navier-Stokes, calculando los valores “dinámicos” sólo en aquellos puntos en los que hemos discretizado el espacio.

Para ello, hemos de expresar las derivadas, de modo “incremento”; sea “f=f(x,y)” una función que depende de 2 variables; la derivada de la función con respecto a la primera variable es:

De igual forma podemos definir la derivada con respecto a la segunda variable. Notar que si “h=1”, podemos calcular la derivada a partir de una resta de 2 valores, en este caso “uno, menos el anterior”; a esta definición se le denomina “diferencias retardadas”; si definimos la derivada como la diferencia entre “uno menos el siguiente”, estamos en el caso de “diferencias adelantadas”; existen más tipos de diferencias finitas, que no vamos a nombrar aquí ni es el objetivo de este artículo. Se denomina “nodo” a cada uno de los puntos de dicha discretización y se denomina “celda” al recinto entre nodos.

Notar simplemente, que dependiendo de las condiciones iniciales, de las condiciones de contorno y del tipo de problema a resolver, nos interesará más un tipo de derivada que otro. 

En toda simulación CFD, hemos de tener claro varias cosas o pasos:

• Condiciones iniciales: son los valores que ya conocemos de nuestro problema; pueden ayudar a la convergencia de la solución y sobre todo, a que sea más “real”.
• Condiciones de contorno: definen, básicamente, los límites del problema, así como el contorno del objeto a estudiar. En este último caso, la condición más aceptada, es que la velocidad sobre el cuerpo o pared, sea cero; es consecuencia de algo que ya vimos en otro artículo (capa límite).
•  Una vez ya tenemos estas 2 cosas bien definidas, hemos de mallar el espacio (discretizar). Ello no es fácil, pues hemos de tener en cuenta las condiciones de contorno y las condiciones iniciales de las que disponemos, así como el mismo problema a resolver, la precisión en determinadas zonas, etc...
• Podemos realizar una simulación “aproximada”, utilizando algún modelo ya visto en este mismo artículo, para coger su solución, y tomarla como condiciones iniciales.
• Hemos de tener en cuenta, que el fluido no debe saltarse una celda, en un intervalo temporal; por tanto, hay que ajustar el incremento temporal, con respecto la velocidad y características del problema.
• Existen muchas más cosas a tener en cuenta, pero son más técnicas, y pretendemos simplemente, dar una visión general.
• Resaltar el hecho de que al convertirse todas las ecuaciones del modelo matemático que se quiera o utilice en un sistema de ecuaciones lineales o no, pero en un sistema al fin y al cabo, se trata de resolverlo; la resolución de dicho sistema implica la convergencia rápida o no de dicha solución, pero también la “NO convergencia”; ello implica que podemos realizar todos los pasos ya mencionados, pero no obtener solución alguna; para ello iremos modificando “adecuadamente” ciertos parámetros, para así obtener una solución.
•  Hacer notar también que una vez obtengamos la solución, es necesario contrastarla con la realidad, para de este modo, regenerar la solución utilizando nuevas condiciones iniciales más verdaderas, por ejemplo.

Si somos capaces de realizar adecuadamente todo esto, seremos capaces de realizar infinidad de simulaciones, y analizar infinidad de posibilidades.

Resumen:

El objetivo básico que pretendíamos con este artículo, era dar una visión general de los diferentes modelos matemáticos existentes para resolver un problema aerodinámico, y las diferentes soluciones que todos poseen, haciendo hincapié en la simulación numérica o CFD; la simulación CFD, posee una serie de problemas muy complicados, los cuales hacen de esta labor, algo extremadamente farragoso y tedioso; de todas formas, cuando hemos conseguido el objetivo, la satisfacción es enorme.

Como conclusión a este articulo, diremos que una simulación CFD no es la panacea que todo lo resuelve; simplemente nos aporta ideas, líneas de trabajo, líneas de acierto o no, intervalos de solución y comparación entre diversos casos, pero no nos proporciona valores exactos que hay que creerse. La simbiosis entre el ingeniero aerodinámico EXPERIMENTADO y la simulación CFD, es lo mejor.

En el próximo artículo, hablaremos de la importancia de la telemetría, y de un sistema de 8 canales en concreto.

Reseña sobre el autor: Timoteo Briet Blanes, Licenciado en Matemáticas y Doctor Ingeniero Industrial; Profesor Universitario de Mecánica de Fluidos y Aerodinámica; Especialidad en Simulación CFD y Aerodinámica; Gerente de "Turbulencia Engineering"; ha trabajado con diversos Equipos de Competición: Campeonato del Mundo de Motos de 125 y 250 cc, Fórmula 3, Fórmula GT, Renault Mégane Trophy, Diseño de Camiones y Autocares, Diseño de Cascos de Veleros para la Copa América de vela, Elementos Aerodinámicos de Automóviles, Cascos de Competición, Diseño de Aeronaves, Energías Eólica, Térmica y Mareomotriz, Aerodinámica Industrial, Diseño, Fabricación, Instalación y Puesta en Marcha de Túneles de Viento, etc. Posee diversas Patentes relativas al mundo de la Aerodinámica, así como numerosas Investigaciones al respecto.

 Timoteo Briet Blanes
Turbulencia Engineering